安定性はなぜ重要か？

モデル理論と幾何

• そもそもモデル理論の動機のひとつが幾何
  • 発想の根幹：第五公準の独立性についてのRiemannの証明
  • （追記）Hilbertの第四問題と幾何学基礎論「椅子、机、ビアマグ」
  • 範疇性概念を言い出したのはVeblen
  • Tarskiが決定可能な公理系の保存的拡大とかを研究
  • Scottの「完全な理論たちの収束列」→Tarskiと決裂、Kleeneの下で学位
    • 領域理論（定義域の理論）の原型

超越論的範疇（Kant）の数学的定式化

• MacLaneの弟子Morley「冪における範疇性」→Tarski学派に合流、Vaughtの下へ
  • Loewenheim-Skolemで無限対象領域の基数は確定しない（基数に関して範疇性は成り立たない）が、特定基数における範疇性の有無は考えうるし、範疇性がどの基数で成り立てば他の基数で成り立つかという「安定性」の概念も生じる→Shelah
• Morley論文と同時期に「自然変換の理論」から「圏論」になる
• 「量化子と層」のLawvereもEilenbergの下で学んでいてTarski学派で論理学の「研修」

変分原理と諸分野との関連

• PDE論、大域変分学、調和解析の問題
  • あらゆるポテンシャル分布を大域的に説明する＝無限次元（ポテンシャルの裾野は無限に広がる＝赤外域のエネルギーが0にならない）つまり量子力学が必要
    • 天体物理の分野ではC^∞多様体が暗黙に要請されてきたこと：渦動説（Descartes）、Poincareによる摂動論の検討
  • 少なくとも二つのミレニアム問題がこれ絡み（YMゲージ理論、NS方程式）
  • もっといえば放物PDEの楕円化によるODEsへの変換
    • Fermi-Pasta-Ulam、Zabusky-Kruskalによる「無限個の保存量をもつ系」＝ソリトン
• ゲージ理論におけるFaddeev-Popov ghostもこの話の一種
• ゲーム理論ではn人非零和ゲームをn+1人零和ゲームに拡大するときに参入する非合理的プレイヤ（TGEBではMorse理論との関係が示唆されていた）富の帳尻をあわせるために収奪を受ける存在が必要になる
• 経済学では動学マクロ／ファイナンスと古典的ミクロの一般均衡理論の関係
• 「需要」を完全に期間構造で説明すれば動学によって静学を基礎付けたことになる

エネルギーの保存と安定性

• モデル理論の「安定性」というのは結局どこまで「時間」（実時間）を冪的に細分化するか、ということ
  • 虚時間の場合、共形不変性の縛りによって「空間」と対応し代数的になるが、実時間にはその保証がない→経路積分の数学的正当化の問題
  • 冪構造（軌道）に回収できないlog(t)オーダーのエネルギーの残余の寄与が非線形現象→あらゆる不安定性の真の根源
• 工学的には微小時間の測定によって摂動の制御が可能になりより安定化できる
• 古典的な惑星軌道の尽数関係
• エルゴード理論
• フーリエ変換の基底
• 素数の冪で表された>0の自然数の束構造
• 経済学における均衡の安定性

角谷の貢献の意味

• Princetonの束論屋にとって角谷の存在が重要だった理由を理解する必要がある
• 角谷FPTはエルゴード理論との関係で必要
• メタ数学の文脈（モデルの射影列）で読み替えると？

So What?