位相空間論における「正規」「正則」の起源について(草稿)

What TuvianNavy know about the origin of "normality" and "regularity" in general topology. It's totally a draft of draft, and most of references are unconfirmed. Never trust. as of Jan 2010, it's under heavy rewriting.

位相空間論における「正規」「正則」の起源。α版もいいとこだし、引用文献も確認できてないものが多いから、内容は信じないように。随時改訂中。

In first few years of 20th century, a young French analyst Maurice René Fréchet, under supervision of Jacques Salomon Hadamard, was preparing his dissertation.

20世紀初めの数年間、フレシェはアダマールの指導の下、博士論文を準備していた。

Stars in function analysis of his country and age, such as René-Louis Baire, Félix Édouard Justin Émile Borel, and Henri Léon Lebesgue are seriously occupied with predicative definition of analytical function hierachy. With his set-theoretical definition of real functions, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet introduced lots of rogue functions, for instance, Dirichlet function. Baire, Borel and Lebesgue approached such functions using a integration method in a wider sense and inductive (step-by-step) definition.

ベール、ボレル、ルベーグら当時のフランスの関数解析の大物たちが当時注力していたのは、解析関数の階層の可述的定義である。ディリクレが集合論的な実関数の定義によって、ディリクレ関数をはじめとする厄介ものを導入したのに対し、かれらはより広義における積分と、帰納的定義によってこれに挑んだ。

Unlike his teachers, Fréchet thought about spaces of functions and functionals. Some of such spaces had been explored notably by Italian mathematicians, such as Giulio Ascoli and Cesare Arzelà, and his work is a generalization. He defined "distance" between each functions/functionals and named a near-metrizability property of such spaces, "Classe (V) normale". In preceding paragraphs, Frechet defines Classe (L) and Classe (V), which might stand for limit and voisinage(neighborhood), respectively([1]). Later mathematicians developed on the train of his thought and established a new branch of mathematics, which is called general topology today.

フレシェは彼の先生たちと違って、関数や汎関数の空間に着目した。イタリアのアスコリ、アルツェラらが関数空間を探検しており、フレシェの仕事はその一般化である。かれは関数たち、汎関数たちの間の「距離」を定義し、それらのなす空間の距離付け可能性に近い性質を名指して「正規類(V)」を定義した[1]。後に数学者たちがフレシェの発想を発展させ、位相空間論という数学の一分野が拓かれた。

Readers should be careful of the word, "topology". Jules Henri Poincaré is known as the founder of algebraic topology, a difficult discipline in study of varieties, that might be only "topology" ordinary people hear of. This branch is based on order-preserving mapping between varieties, and such mapping is defined set theoretically under general topology.

トポロジーという単語については注意が要る。ポアンカレの建設した代数位相幾何学もトポロジーと呼ばれ、そして数学に不案内な一般人はこれについての話しか聞かされていないが、要するに代数位相幾何学で必要になる、順序を保存する写像は、位相空間論に基づいて集合論的に定義できる。

In 1923, Two young Russian Mathematicians, Pavel Sergeyevich Alexandrov (Alexandroff, in German spelling) and Pavel Ulysohn, visited Göttingen. There David Hilbert was as a leader of axiomatics, and Emmy Noether, later collaborator of Alexandrov, was thinking of order structure in ideals of commutative ring. As Ulysohn later noted[2][3], Alexandrov's notion of topological regularity is found in his works of these days. Alexandrov was working on spaces generated with regular open sets[4], which is an abstraction of ideal order. They were called "regular", because they are abstraction of spaces of ideals of finitely generative commutative ring, for instance, ideals of polynomial, which are so smooth and differenciatable term by term.

アレキサンドロフとウリゾーンは、1923年にゲッチンゲンを訪れた。ヒルベルトは公理的方法のリーダーとしてそこに在り、ネーター(後にアレキサンドロフとの共同研究の為ロシアへ赴く)は可換環のイデアルの順序構造について考えていた。ウリゾーンがのちに記すところによれば[2][3]、アレキサンドロフの「正則性」概念はこの時期のかれの仕事に見いだされる。アレキサンドロフは正則開集合のなす空間について考えていた[4]。これはイデアルの順序構造の抽象化である。この空間が「正則」といわれるのは、有限生成的な可換環のイデアル、具体的には多項式のイデアルたちの空間の抽象化になっているからだ。多項式で定義される関数は滑らかで、項別微分ができる。

Later topologists introduced separation axioms into general topology and refined classification of topological spaces. Alexandorv's first notion of regularity is now called "semi-regularity". Regurar space is now defined as Haussdorff T_3 space, which criterion is a bit stronger than semi-regularity. Normality, as Frechet characterized, is replaced with an abstruct (and probably a bit weaker) form, as sufficiency of T_0 and T_4. Frechet's first definition of distance is replaced, and his distance is now called "pseudo-distance".

後のトポロジストは分離公理を導入し、位相空間の分類を精密化した。アレキサンドロフの初期の正則性概念は現在では「半正則」と呼ばれている。現在の「正則」はハウスドルフかつT_3な空間のことで、これはアレキサンドロフの条件よりも若干強い条件である。フレシェの定式化した正規性概念も分離公理ベースで T_0 かつ T_4 な空間として定義され、フレシェが最初に定義した「距離」は現在は「擬距離」と呼ばれている。

References:

[1] M. M. Frechet, "Sur quelques points du calcul fonctionnel," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 22, no. 1, pp. 1-72, 1906
[2] H. Reitberger, "Leopold Vietoris (1891-2002)," Notices of the AMS, vol. 49, no. 10, pp. 1232-1236, 2002
[3] P. Alexandroff, "Über die Metrisation der im kleinen kompakten topologische Räume," Math Ann., vol. 92, no. 3, pp. 294-301, 1924
[4] P. Alexandroff, "Diskrete Räume," Matematicheskii Sbornik, vol. 2(44), no. 3, pp. 501-519, 1937, http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5579&option_lang=eng